La Tierra atrae gravitacionalmente a los cuerpos masivos con una fuerza proporcional a su masa así que la manera más común de determinar la masa de un cuerpo consiste en medir esa fuerza gravitacional.
La ley de la Gravitación Universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa.
Debemos observar que las fuerzas gravitatorias entre dos partículas son un par accion-reaccion. La primera partícula ejerce una fuerza sobre la segunda que se dirige a la primera a lo largo de la línea que las une. De igual modo la segunda partícula ejerce una fuerza sobre la primera dirigida a lo largo de la línea que las une. Estas fuerzas son de igual magnitud pero de signo contrario.
Para dos partículas materiales aisladas, o dos sistemas de particulas materiales aislados A y B, existe una fuerza de atracción entre ambos,que tiene por causas: masa gravitatoria o causa gravitoria
Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Phiplosophie Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa, deducida empíricamente de la observación de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa.
¿Cómo fue que llevo a tal ley?
Cuando le cayó una manzana en la cabeza mientras hacia una siesta debajo de un manzano. Por ello Newton le pregunto al manzano “¿manzano, si la manzana cae, quizá todos los cuerpos en el Universo se atraen entre sí de la misma forma como la manzana fue atraída por la Tierra?”. Como el manzano nada le respondió, Newton comenzó a trabajar sobre eso hasta que descubrió la Ley de Gravitación Universal.
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| Figura 1. Newton y el manzano |
Esta ley se puede enunciar de la siguiente forma:
“Toda partícula material del universo atrae a cualquier otra partícula con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa”
Sabiendo que las partículas tienen masas definidas como m1 y m2, y están separadas una distancia r medida desde sus centros, como se ve en la figura 1, entonces, según la ley de gravitación universal, la fuerza de atracción gravitacional FG ejercida por la masa m1 sobre la masa m2 es en magnitud:
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| Figura 2. Fuerza Gravitatoria |
La constante de proporcionalidad G se llama Constante de Gravitación Universal, cuyo valor de G se determinó experimentalmente y según el Sistema Internacional de unidades es: 6.67428±0.00067 x 10-11 N m2/kg2.
Si tomamos en cuenta el campo gravitaorio causado por la masa mA en un punto situado a una distancia r, como
El campo gravitatorio causado por la masa mB en un punto situado a una distancia r, se define como
Se experimenta una fuerza gravitatoria sobre la partícula B debida al campo gravitatorio gA, como la ecuacion 3
La fuerza gravitatoria sobre la partícula B debida al campo gravitatorio gA, como la ecuacion 4
La fórmula de la fuerza gravitatoria cumple con la segunda ley de Newton: fuerza igual a masa inercial por aceleración.
De forma tal que el campo gravitatorio que crea un sistema masivo a su alrededor depende de la distancia r entre su centro de masa y el punto en donde se mida el campo. Así podemos calcular por ejemplo, el campo gravitatorio en el nivel de la superficie terrestre, que multiplicada por la masa de un objeto nos permitiría obtener la fuerza con la cual nuestro planeta atrae un objeto colocado en su superficie.
De acuerdo con la descripción newtoniana, cuando se mueven tres cuerpos bajo la acción de su campo gravitatorio mutuo como por ejemplo el sistema Sol-Tierra-Luna, la fuerza sobre cada cuerpo es justamente la suma vectorial de las fuerzas gravitatorias ejercidas por los otros dos.
Por ejemplo: tres masas de 2 Kg, 4Kg, 6Kg situadas en los vértices de un triángulo rectángulo, primero se calculan por separado las fuerzas individuales sobre la masa de 4Kg, debida a las masas de 2Kg y 6Kg, y después se hace la suma vectorial para obtener la fuerza resultante sobre la masa de 4Kg.
Según lo mencionado anteriormente las ecuaciones de movimiento son fáciles de escribir pero difíciles de resolver ya que no son lineales.
Aunque Newton no pudo establecer el valor de G ya que solamente dedujo la forma de la interacción gravitatoria, pero no tenía suficientes datos como para establecer cuantitativamente su valor.
De esta forma Henry Cavendish nacido en 1731, en la ciudad francesa de Niza realizo el experimento de Cavendish utilizando una balanza de torsión se da la primer medida de la fuerza de gravedad entre dos masas por ende, se determina la masa de los planetas y del Sol y algunas características orbitales de otros cuerpos del Sistema Solar a partir de la Ley de Gravitación Universal de Newton.
Conoce un poco más de Henry Cavendish en el link |
Figura 3. Henry Cavendish |
Un poco de historia acerca de la balanza de torsión
Inicialmente John Michell construyo una balanza de torsión para estimar el valor de la Constante de Gravitación Universal pero murió en 1793 sin poder completar su experimento y el instrumento que había construido fue heredado a Francis John Hyde Wollaston, quien se lo entregó a Henry Cavendish.
John Cavendish se interesó por la idea de Michell y reconstruyó el aparato, realizando varios experimentos con el fin de determinar la densidad media de la Tierra, en 1798.
Tal instrumento consistía en una balanza de torsión con una vara horizontal de seis pies (4,80 m) de longitud en cuyos extremos se encontraban dos esferas de cristal de idéntica masa. Esta vara colgaba suspendida de un largo hilo.
Cerca de las esferas, colocó dos esferas de goma (aproximadamente de 175 kg cada una), cuya acción gravitatoria debía atraer las masas de la balanza produciendo un pequeño giro sobre ésta. Lo realizó en una habitación a prueba de viento y midió la pequeña torsión de la balanza utilizando un telescopio, montado fuera del cuarto, para leer la escala graduada minuciosamente que medía el movimiento (aproximadamente 1x10-2 pulg) y que se iluminaba mediante un estrecho haz de luz dirigido desde fuera del cuarto, observe la figura 3.
Cavendish pretendía determinar la densidad de la Tierra (“pesar el mundo”) midiendo la fuerza sobre una pequeña esfera debida a una esfera mayor de masa conocida y concluyendo que había una fuerza sobre la esfera pequeña debida a la Tierra.
Según lo anterior Cavendish no reportó un valor para G pero los resultados de su experimento permitieron determinarlo.
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| Figura 4. Experimento de Cavendish |
Contraste de esta Ley: Newton vrs Einstein
Aunque actualmente se conocen los límites en los que dicha ley deja de tener validez por ejemplo cuando nos encontramos cerca de cuerpos extremadamente masivos, en cuyo caso es necesario realizar una descripción a través de la relatividad general enunciada por Albert Einstein en 1915, dicha ley sigue siendo ampliamente utilizada y permite describir con una extraordinaria precisión los movimientos de cualquier cuerpo en el Sistema Solar, por lo que a grandes rasgos, para la mayor parte de las aplicaciones cotidianas sigue siendo la utilizada, debido a su mayor simplicidad frente a la Relatividad General, y a que ésta en estas situaciones no predice variaciones detectables respecto a la Gravitación Universal.
Según la teoría de la relatividad, cualquier fenómeno físico obedece leyes que no dependen del sistema de referencia desde el cual se observan o sea es aplicable sólo a sistemasinerciales, recordemos que esos son movimientos donde el objeto va en línea recta y a velocidad constante.
En un sistema no inercial actúan fuerzas que permiten entender el movimiento por ejemplo colocando el sistema de referencia inercial aislado en el espacio sideral lejos de cualquier cuerpo que lo atraiga gravitacionalmente.
Einstein investigó la posibilidad de modificar la teoría de la gravitación de Newton para hacerla compatible con el principio de relatividad por la relación entre fuerzas inerciales y fuerzas gravitacionales.
Según lo anterior existe una relación muy profunda entre sistemas de referencia no inerciales y sistemas de referencia sometidos a fuerzas gravitacionales, tal relación que se puede entender con un ejemplo dado por el mismo Einstein. Pues se le ocurrió la idea de que si una persona cae libremente no sentirá su propio peso. Entonces, si comparamos los siguientes casos.
Supongamos que nos encontramos encerrados en una caja colocada sobre la superficie terrestre y sentimos la fuerza gravitacional de la Tierra que nos atrae al suelo, al soltar una piedra ésta cae al suelo aumentando continuamente su velocidad, es decir acelerándose a razón de 9.81 m/s2 , lo que equivale a una aceleración de 1 g. En el interior de la caja la fuerza que actúa sobre un cuerpo es proporcional a su masa gravitacional
Por otro lado si la caja esta en reposo situada en el espacio, lejos de la influencia gravitacional de cualquier objeto del sistema solar, todo lo que se encuentra en su interior flota ingrávidamente. Pero si la caja se acelera, aumentado su velocidad a razón de 9.81 m/s2, los objetos en su interior se quedan rezagados y se pegan al suelo. Evidentemente, la caja acelerada es un sistema de referencia no inercial, y las fuerzas, que aparecen en su interior son fuerzas inerciales que dependen de la masa inercial de los cuerpos sobre los que actúan.
Ahora imaginemos la caja dentro de un elevador que se encuentra en un edificio en la Tierra, pero el cable se rompe y cae libremente. Sus ocupantes caen junto con la caja y, mientras dura la caída, no sienten ninguna fuerza gravitacional, exactamente como si estuvieran en el espacio extraterrestre
Así, un sistema de referencia inercial es equivalente a un sistema de referencia en caída libre, y del mismo modo un sistema no inercial es equivalente a un sistema de referencia sometido a la fuerza gravitacional. En consecuencia, se puede extender el principio de relatividad a sistemas no inerciales si se toma en cuenta a la gravitación.
Esta deducción de la anulación de la fuerza gravitatoria por la inercial, en el supuesto de identificar ambas masas, gravitatoria e inercial, y suponiendo velocidades no relativistas para poder realizar la transformación de coordenadas anteriormente descrita, es lo que da sentido al llamado Principio de Equivalencia:
"En cada punto del espacio-tiempo en que existe un campo gravitatorio arbitrario, función continua de sus puntos, es siempre posible escoger un sistema de coordenadas localmente inercial tal que en un entorno suficientemente pequeño las leyes del movimiento de los sistemas de partículas tienen la misma forma que en los sistema inerciales de la relatividad general cuando no existe gravitación."
En la teoría de la relatividad general, las partículas siguen trayectorias rectilíneas siempre, de tal manera que la gravedad o campo gravitatorio, según el cual las partículas masivas "tuercen" su trayectoria es una consecuencia de la deformación del espacio-tiempo causada por la masa.
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| Figura 5. Fuerza Gravitacional Tierra - Luna |
